１圆型限制性三体问题
限制性三体问题是三体问题的一种退化形式，即其中１个天体的质量太小以至于可以忽略（称为小天体），另２个质量不可忽略的天体（称为主天体，其中质量较大的称为第一主天体，较小的称为第二主天体）在相互引力作用下作圆锥曲线运动，小天体在２个主天体引力影响下运动。当２个主天体的轨道为圆轨道时，称为圆型限制性三体问题。通常在随２个主天体共同绕转的坐标系（称为质心会合坐标系）下研究小天体的运动，如图１所示，Ｐ１和Ｐ２代表２个主天体，中心Ｃ代表２个主天体质心。采用如下的质量量纲［Ｍ］、长度量纲［Ｌ］和时间量纲［Ｔ］运动方程（２）存在５个动力学平衡点，即图１中的Ｌ１～Ｌ５。它们都在２个主天体的运动平面内，称为平动点，相应几何位置如图１所示。在地月系中，位于２个主天体的连线中间的点即为本文研究对象ＬＬ１点。共线平动点（如ＬＬ１点）附近的运动是不稳定的，但其附近存在条件稳定轨道，并且存在与之相联系的稳定（不稳定）流形轨道。ＬＬ１点的稳定流形轨道的初始状态量Ｘｓ，可以通过对ＬＬ１点的状态量Ｘ０施加沿其雅可比矩阵稳定特征矢量Ｖｓ方向的小扰动ｄ得到，即初始状态Ｘｓ为［８］图２给出了ＬＬ１点对应的环绕月球５圈的稳定流形轨道，图中小圆点代表月球位置。坐标轴单位ａｄｉｍ表示以式（１）给出的无量纲长度［Ｌ］为单位，下同。对应的近月点高度和飞行时间列于表１。由表１可以看出，由于ＬＬ１点能量较低，在较短时间内，其对应的稳定流形轨道无法到达距月球很近的位置，因而不利于设计利用月球借力的转移轨道。
２利用月球借力的轨道设计
利用月球借力，设计采用三脉冲变轨，由地球停泊轨道（轨道高度定为２００ｋｍ）转移到ＬＬ１点的轨道。整个转移过程可以描述为：１）探测器通过１次停泊轨道加速，进入地月转移轨道；２）在到达近月点时进行轨道机动，由此探测器进入ＬＬ１点的流形轨道；３）在绕飞月球一定圈数后，探测器在ＬＬ１点附近进行最后一次机动，抵达ＬＬ１点。可见，整个转移过程分为地月转移轨道段和月球—ＬＬ１流形段。根据第１节的结论，在月球—ＬＬ１流形段，采用了拟流形［９］（ｐｓｅｕｄｏ－ｍａｎｉｆｏｌｄ）轨道来取代ＬＬ１点的稳定流形轨道，以实现月球借力。２．１地月转移轨道段地月转移轨道段依然采用传统的霍曼转移方式，轨道设计是在会合坐标系下进行的。探测器首先由２００ｋｍ高度的停泊轨道，在相位角为θｅ处作切向变轨，进入转移轨道。到达近月点处，探测器近月点高度为ｈｍ，相位角为θｍ（角度定义见图３）。通过改变转移飞行时间，得到不同的地月转移轨道，并获得相应的近月点高度和近月点相位角间的关系，如图４所示。可见，当近月点高度限定为１００ｋm２．２月球—ＬＬ１流形段这一段轨道设计，采用了ＬＬ１点的拟流形轨道。拟流形轨道与不变流形轨道的不同在于：１）拟流形的扰动只施加于ＬＬ１点状态量的速度部分；２）对拟流形而言，所施加的扰动可以很大，更准确来说是轨道机动。同ＬＬ１点的稳定流形一样，需要逆向积分初始状态量Ｘｐ，以获得拟流形轨道Ｘｐ＝Ｘｓ＋ΔＶ其中ΔＶ＝（０，０，ｖｃｏｓφ，ｖｓｉｎφ）Ｔ为速度扰动，ｖ和φ∈（０，３６０°）分别是扰动大小和方向。将速度大小限定为１００～２００ｍ／ｓ，可以保证拟流形轨道既在较短时间内到达月球附近，又基本不逃离出月球影响球。通过改变扰动速度的大小和方向，研究不同的拟流形轨道在绕月球一定圈数后的近月点高度和相位角间的关系，如图５所示。从图中可以得出，拟流形轨道在绕月球第１圈或第２圈后，其近月点相位角均小于１５０°，而第３圈和第４圈，近月点相位角为１５０°～２５０°。图中相位角为０°或３６０°的情形对应于拟流形轨道逃逸出月球影响球后又折返回来，在轨道设计过程中未予考虑。２．３轨道设计结果由２．１节和２．２节的分析结果，若使２段轨道在近月点处进行拼接，只有拟流形轨道绕月球３圈或４圈的情形符合近月点相位角要求。所以，设计方法是从近月点的高度—相位角关系图中找到２段轨道相交的点，并计算相应２条轨道的能量差，即为拼接所需的轨道机动速度，从而获得１条完整的地球至ＬＬ１点的间接转移轨道。下面将近月点高度定为１００ｋｍ，分别给出对应于拟流形轨道绕月球３圈（情形１）和４圈（情形２）的轨道设计结果。２．３．１拟流形轨道绕月球３圈情形（情形１）近月点高度—相位角关系如图６所示，其中标有ＬＬ１点施加速度脉冲大小的实线代表对应的月球—ＬＬ１转移段，标有转移时间的虚线代表对应的地月转移轨道段。图中只给出了几条轨道作为示意，实际上２段轨道交点的数目是无穷多的。得到的较好的轨道设计结果见表２，对应的轨道如图７所示。转移轨道消耗能量为３４８０．３ｍ／ｓ，转移时间为２１．６ｄ。表２中，第４列分别给出近地点、近月点的相位角和ＬＬ１点附近速度扰动的方向角，第５列分别给出了地月转移轨道段和月球—ＬＬ１流形段的转移时间以及总的转移时间，表３同。２．３．２拟流形轨道绕月球４圈情形（情形２）近月点高度—相位角关系如图８所示，图例中标有ＬＬ１点施加速度脉冲大小的代表对应的月球—ＬＬ１转移段，标有转移时间的代表对应的地月转移轨道段。图中只给出了几条轨道作为示意，实际上２段轨道交点的数目是无穷多的。得到的比较好的轨道设计结果见表３，对应的轨道如图９所示。转移轨道消耗能量为３４４０．１ｍ／ｓ，转移时间为２３．１ｄ。
３讨论
利用近月点轨道拼接的方法，分别获得了拟流形轨道绕月球３圈和４圈的地球—ＬＬ１点转移轨道，设计结果与文献中的设计结果的比较见表４。由表４可以看出，虽然设计方法与Ｌｉ和Ｚｈｅｎｇ（２０１０）［５］有所不同，但设计结果与其设计得到的２条轨道（表４中以“／”区别）基本一致。与直接转移轨道相比，间接转移轨道要节省能量；与低能ＷＳＢ轨道相比，间接转移轨道虽耗能较多，但所需转移时间较少。因此，本文设计给出的间接转移轨道，对于转移时间约束宽松、能量消耗约束严格的任务来说，是较好的轨道设计备选。以上仅仅给出了几个比较好的轨道设计结果，并未对设计结果进行优化。以后的工作可以考虑在真实力模型下，对轨道设计结果进行优化，同时将所设计的转移轨道的目标轨道扩展为ＬＬ１点李雅普诺夫（Ｌｙａｐｎｏｖ）轨道、ｈａｌｏ轨道等。
４结论
在平面圆型限制性三体问题模型下，利用月球借力，设计得到了地球—ＬＬ１点的间接转移轨道。重点分析了拟流形轨道绕月球３圈和４圈的转移轨道情形，得到的转移轨道能量消耗约为３４４０～３４８５ｍ／ｓ，所需转移时间为２１～２３ｄ。同直接转移方式相比，间接转移轨道节省能量；同时又比低能量ＷＳＢ转移节省飞行时间，因此可以作为地球—ＬＬ１点转移轨道设计的备选。
作者：辛晓生 侯锡云 刘林 单位：南京大学天文与空间科学学院 南京大学空间环境与航天动力学研究所 北京跟踪与通信技术研究所